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Paradoxe du tout dernier trou noir

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Le paradoxe du tout dernier trou noir désigne la contradiction suivante : dans un futur très lointain, la masse du dernier trou noir ne serait plus un paramètre mesurable[pourquoi ?]. Cette information disparaitrait sans prendre en compte l’hypothèse de son évaporation par rayonnement de Hawking[style à revoir]. Seule une quantification de l’espace-temps évite ce paradoxe[interprétation personnelle][pourquoi ?][pas clair].

Introduction[modifier]

Supposons l’existence d’un observateur dans un avenir très lointain après une longue période d’accélération de l’expansion de l’univers[1]. Tous les corps célestes se sont éloignés les uns des autres au point de dépasser l’horizon cosmologique de cet observateur sauf deux trous noirs de Schwarzschild, électriquement neutre et sans rotation[2]. Par définition, pour le trou noir de Schwarzschild : de masse M strictement positive : M>0 ; dont la charge électrique Q est nulle : Q=0 ; dont le moment cinétique J est nul : J=0 (sans rotation axiale ); dont la singularité gravitationnelle est ponctuelle ; dont l'horizon des événements est une hypersurface de rayon égal au rayon de Schwarzschild. L’univers visible se résumerait à l’observateur O, deux trous noirs TN1 et TN2 et le fond diffus à l’horizon cosmologique. Dans cette hypothèse, nous négligerons l’éventuel rayonnement de Hawking des trous noirs[3].

Mesures du rayon des trous noirs par l’observateur[modifier]

Même si un trou noir n’émet aucun rayonnement, l’observateur O pourra toujours faire la mesure géométrique de son rayon R car son disque se découpe sur le fond diffus cosmologique en ombre et en anneaux d’Einstein[4]. Mais le « théorème de calvitie »[5] implique qu’un trou noir neutre et sans rotation est entièrement caractérisé par sa masse M. Le trou noir ne possède aucun détail, aucun « poil » visible à son propre horizon. La mesure de son rayon R détermine son unique paramètre observable M grâce à l’expression du rayon de Schwarzschild : R= 2GM/c2 et M= (c2R)/2G. L’observateur O pourra mesurer la masse M de chaque trou noir en mesurant son rayon R. Des mesures des rayons R1 et R2, l’observateur O en déduira les masses M1 de TN1 et M2 de TN2 car la masse M quantifie le rayon R du trou noir.

Si l’observateur est une singularité[modifier]

Supposons maintenant que l’observateur O n’est pas un tiers objet mais la singularité S1 de TN1. Cette singularité S1 voit l’ombre du disque de l’autre trou noir TN2, mesure son rayon R2 et donc sa masse M2. De même, la singularité S2 voit l’ombre du disque de TN1, mesure son rayon R1 et donc sa masse M1. Dans cet univers lointain et très simplifié, la masse des trous noirs reste un paramètre observable. Rien ne pouvant sortir de l’horizon respectif de chaque trou noir, les deux singularités S1 et S2 ne peuvent se communiquer l’information de leurs mesures respectives. S1 mesure la masse M2 mais ne peut la communiquer à S2. Réciproquement, S2 mesure la masse M1 mais ne peut la communiquer à S1.

Tentative de résolution[modifier]

Ce paradoxe ne peut être évité que si nous considérons que la singularité d’un trou noir peut mesurer sa propre masse. Mais le dernier paramètre mesurable par la singularité ponctuelle Sd est son temps propre. De la même manière que le rayon d’un trou noir est quantifié en fonction de sa masse par la relation de Schwarzschild, R= 2GM/c2 et M= (c2R)/2G, nous devons envisager que le temps propre de la singularité S est quantifié par la relation :

ΔT = R/c = 2GM/c3 et M = (c3 ΔT)/2G

ΔT est le temps minimum mesurable par la singularité S d’un trou noir de masse M.

Ainsi, l’information « masse du trou noir » reste mesurable même pour le dernier trou noir de l’univers observable. Toute singularité S mesure sa masse propre M en mesurant son quanta de temps propre ΔT.

En conclusion, en prenant la convention c = G = 1, dans un référentiel (S,x,y,z,ct) lié à la singularité ponctuelle S, la singularité S d’un trou noir TN a une masse M qui quantifie son espace-temps environnant sous la forme d’une hyperboule de dimension 4, de centre S et de rayon égale à 2M.

Notes et références[modifier]

Bibliographie[modifier]

  • (en) S. Perlmutter et al., « Measurements of Omega and Lambda from 42 High-Redshift Supernovae », The Astrophysical Journal, vol. 517, no 2,‎ (arXiv astro-ph/9812133)
  • (en) Karl Schwarzschild, « On the Gravitational Field of a Mass Point according to Einstein’s Theory », Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, Phys.-Math.Klasse,‎ , p. 189-196 (arXiv physics/9905030)
  • (en) S. W. Hawking, « Particle Creation by Black Holes », Communications in Mathematical Physics, vol. 43,‎ , p. 199–220 (lire en ligne)
  • (en) C.S. Kochanek, C.R. Keeton et B.A. McLeod, « The Importance of Einstein Rings », The Astrophysical Journal, vol. 547, no 1,‎ (DOI 10.1086/318350, arXiv astro-ph/0006116)
  • (en) Charles W. Misner, Kip S. Thorne et John Archibald Wheeler, Gravitation, San Francisco, W. H. Freeman, (ISBN 0716703343), p. 875–876


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