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Pendule à photon

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Le pendule à photon est un objet théorique permettant de réaliser des expériences de pensée en relativité restreinte. Il est constitué d'un photon rebondissant entre deux miroirs parallèles.

Dans la suite de cet article, on appellera R le référentiel fixe (ou référentiel de l'observateur) et R' un référentiel en translation rectiligne à la vitesse v suivant l'axe horizontal et dirigé vers la droite.

I_ Horloge à photon verticale: la dilatation du temps[modifier]

Présentation[modifier]

pendule à photon verticale

Le pendule à photon verticale (PPV) est composé d'un photon rebondissant à la vitesse c entre les miroirs A et B.

la distance entre A et B est de h. Le temps mis par le photon pour aller de A à B est noté θ.

on a donc h = θ * c

où c est la célérité de la lumière ainsi que la vitesse du photon.

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Horloge verticale en mouvement[modifier]

On considère maintenant une horloge p immobile dans R et une horloge p' en translation à la vitesse v. Vue depuis R le photon de l'horloge p' parait avancer en diagonale.

Les deux pendules émettent leur photon depuis le point O l'instant zéro.

deux pendules à photon en mouvement

B't1 est la position du photon P' à l'instant θ

Le photon P est alors en B

L'horloge est en A't1

On a: OB't1 = c * θ et OA't1 = v * θ et selon Pythagore on a donc A't1B't1 =θ * '"`UNIQ--postMath-00000001-QINU`"'

Le théorème de Thalès nous donne ensuite:

A'B' / A't1B't1 = OB' / OB't1

donc OB' = c * θ * c * θ / (θ * '"`UNIQ--postMath-00000002-QINU`"') = θ * '"`UNIQ--postMath-00000003-QINU`"'

on retrouve le facteur de Lorentz γ = c / '"`UNIQ--postMath-00000004-QINU`"' = 1 / '"`UNIQ--postMath-00000005-QINU`"' et on a

'"`UNIQ--postMath-00000006-QINU`"' = c θ * γ = γ . '"`UNIQ--postMath-00000007-QINU`"' on trouve aussi θ' = γ * θ

L'horloge p' retarde d'un facteur γ = 1 / '"`UNIQ--postMath-00000008-QINU`"' par rapport à l'horloge p.

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On peut remarquer que l'angle α peut s'approcher de 0 à mesure que v augmente. Par exemple si on veut que OB' = 10 * OB il suffit de prendre α = arcsin(0.1) =6°. on a alors v = cos6 * c = 0.9945c.

Dans ce cas, l'horloge p arrive a son dixième battement lorsque p' arrive en B' pour son premier battement. Ceci étant observé dans le référentiel R. Car dans R', c'est p qui arrive en B pour son premier battement alors que p' à déjà battu 10 fois.

Chaque battement est à considérer comme un temps biologique : l'observateur vieilli au rythme de sa pendule. Chaque observateur dans le cas précédant voit l'autre observateur vieillir dix fois moins vite que lui.

En prenant en compte uniquement une vitesse constante de la lumière identique dans tous les référentiels, on arrive à la conclusion nécessaire que c'est le temps lui-même qui doit se dilater pour permettre cette constance.

Synchronicité des événements[modifier]

L’événement P arrive en B est appelé E1 et l’événement P' arrive en B' est appelé E2.

Dans le référentiel R, E1 arrive au temps θ et E2 au temps θ'. Donc E1 est antérieur à E2

Dans le référentiel R' c'est le contraire et un calcul symétrique donne que E2 est antérieur à E1 et on obtient θ' = γ * θ.

Enfin, dans un référentiel R'' qui irait à la vitesse v/2 dans la direction des x, E1 et E2 seraient synchrones car chaque pendule s'éloignerait du référentiel choisit à la vitesse v/2 dans les deux direction opposées et la situation serait symétrique.

En relativité restreinte, deux événements ont toujours lieu soit au même endroit, soit au même moment. (Plus précisément: soit il existe un référentiel dans lequel ils ont lieu au même endroit, soit il existe un référentiel dans lequel ils ont lieu au même moment).

Deux événements ayant lieu au même endroit ET au même moment dans un référentiel, auront lieu au même endroit et au même moment dans tous les référentiels.

II_ La pendule à photon horizontale: la contraction des longueurs[modifier]

On considère maintenant une pendule P'1 verticale et immobile dans R' et une pendule P'2 horizontale et immobile dans R'.

A l'instant t=0, 2 photons partirons respectivement des deux pendules.

Présentation[modifier]

Double pendule à photon horizontzle et verticale immobile

Vue de R', la "double pendule P'1P'2 est immobile. Elle comporte une origine A' et deux extrémités B'1 et B'2

Sa hauteur ainsi que sa largeur est h' (dans R')

Le temps θ' mis par le photon P'1 pour arriver en B'1 est le même que le temps mis par le photon P'2 pour arriver en B'2.

on a toujours la relation: h' = θ' * c

Après leur rebond, les photons reviendrons rebondir en A' au même moment. Cet événement est observable dans n'importe quel référentiel car les photons se "percutent".

On peut dès a présent remarquer que les événements E'B1 (le photon P'1 est en B'1) et E'B2 (le phoron P'2 est en B'2) sont synchrones dans R' mais ne seront pas synchrones dans R.

Par contre l'événement E'A: Les photons P'1 et P'2 sont en A' sera un événement unique dans n'importe quel référentiel.

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Premières constatations[modifier]

On se place maintenant dans R, muni en plus de sa propre pendule verticale appelée p. Vu depuis R:

EB (le photon P percute B) a lieu au temps θ (=h / c)

E'B1 (le photon P'1 percute son miroir B'1) a lieu au temps θ' = γ * θ (donc 'après' EB)

E'B2 (le photon P'2 percute son miroir B'2) a lieu au temps θ'1 qui sera encore postérieur à E'B1.

La hauteur de la pendule est toujours h, mais sa longueur apparente notée h' va varier et on n'a pas h' = h comme montré plus loin.

Double Pendule à photon, horizontale et verticale en mouvement.

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Depuis R on voit que non seulement l'horloge P'1 retarde (ce qui a été vu au paragraphe précédant)

mais qu'en plus l'horloge P'2 ne bat pas en même temps que p'1. Les deux horloges pourtant identiques ne sont pas synchrones vues depuis R et l'horloge 2 semble "détraquée": elle et ne bat pas à un rythme régulier: le photon met beaucoup plus de temps à aller de A' vers B'2 que pour revenir de B'2 vers A'!!

Comme la vitesse des photons est la même, la longueur des lignes des photons doit être identique à un moment donné.

Ici on voit l'état du système vu depuis R au temps θ'1 (le photon P'2 percute le miroir B'2).

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Dans la suite des événements, le photon P'2 rebondit et revient vers le miroir A' qu'il percute au moment même ou P'1 le percute (car cet événement est unique dans tous les référentiels). On appellera ce temps θ'm (le temps de la mesure...)

pendule à photon horizontale et verticale en mouvement à l'instant du retour au miroir A'

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θ'm se divise en θ'1 + θ'2 (le temps pour le photon P'2 avant de percuter B'2 puis le temps jusqu'à percuter A')

avec:

cθ'1 = h' + v θ'1 la distance parcourue par P'2 jusqu'à rencontrer B'2: il doit traverser la pendule (longueur apparente h') et compenser la vitesse v, soit une distance de v θ'1. On en déduit que θ'1 = h' / (c - v)

De même cθ'2 = h' - vθ'2 la distance parcourue par P'2 depuis B'2 jusqu'à A'): il doit encore traverser la pendule mais il est "aidé" par la vitesse v. On en déduit θ'2 = h' / (c + v)

Pendant ce temps P'1 parcours la distance 2hγ (aller-retour en diagonale du bas vers haut comme vu en partie 1). Quand les deux photons se rencontrent ils ont forcément parcouru la même distance (même durée de trajet à la même vitesse c).

Il s'ensuit que 2hγ = c * θ'1 + c *θ'2 = h' * (c / (c-v) + c / (c+v)) = h' * 2 * c2 / (c2 - v2)

Finalement h' = h * γ * (1 - v2 / c2) = h / γ

h' = h / γ le facteur inverse fait qu'on parle cette fois de contraction des longueur dans le sens du déplacement:. La pendule horizontale parait plus courte la pendule verticale..

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