Basofactorielle

La basofactorielle d'un nombre réel $a$ en base $q$ se note $a!_{q}$. C'est le produit de tous les réels strictement positifs espacés de $q$ unités compris entre $1$ et le plus grand multiple de $q$ inférieur à $a-1$, qui sont ensuite multipliés par $a$, soit :

Définition

Cas où $a-1\equiv 0{\pmod {q}}$

$\forall a\in [1;+\infty [,\forall q\in \mathbb {R} _{+}^{*}$ tels que $a-1\equiv 0{\pmod {q}}$

$a!_{q}=1(1+q)(1+2q)(1+3q)\times \cdots \times (a-q)\times a$

On peut aussi exprimer la fonction basofactorielle ainsi :

$a!_{q}=\displaystyle \prod _{k=0}^{\frac {a-1}{q}}(1+kq)$

Explication

Par hypothèse, on sait que $a-1\equiv 0{\pmod {q}}$ i.e. il existe un entier $k$ tel que $a-1=kq\Longleftrightarrow a=1+kq$ autrement dit $k={\dfrac {a-1}{q}}$.

$a!_{q}=1(1+q)(1+2q)(1+3q)\times \cdots \times (a-q)\times a$ $=(1+0q)(1+1q)(1+2q)(1+3q)\times \cdots \times \left(1+\left({\dfrac {a-1}{q}}-1\right)q\right)\left(1+\left({\dfrac {a-1}{q}}\right)q\right)$

$a!_{q}=\prod _{j=0}^{j={\frac {a-1}{q}}}(1+jq)$

 

Bases remarquables :

• Pour $q=0,1$ et $a={\dfrac {k}{10}}$ avec $k\in \mathbb {N} ^{*}$, on peut établir une égalité liant basofactorielle et factorielle commune :

$a!_{0,1}=(10a)!\times {\dfrac {10^{9-10a}}{9!}}$

Ou plus généralement pour $q=10^{-n}$ et $a={\dfrac {k}{10^{n}}}$ avec $(k;n)\in \mathbb {N} ^{*}\times \mathbb {N}$ on a :

$a!_{10^{-n}}=(10^{n}a)!\times {\dfrac {10^{10^{n}-1-10^{n}a}}{9!}}$

• La fonction factorielle commune n'est en réalité qu'une fonction basofactorielle de base $q=1$.

Généralisation

Lorsque $a-1$ n'est pas divisible par $q$, la précédente formule ne suffit plus pour les cas comme

$2,6!_{0,7}=1\times 1,7\times 2,4\times 2,6$

On définit donc la fonction basofactorielle en base $q$ en utilisant la fonction partie entière inférieure $x\longmapsto \lfloor x\rfloor$ par :

$a!_{q}=\displaystyle \left(\prod _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {a-1}{q}}\right\rfloor }(1+kq)\right)\times a$

Application de la formule

Reprenons l'exemple $2,6!_{0,7}$.

$2,6!_{0,7}=\displaystyle \left(\prod _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {1,6}{0,7}}\right\rfloor }(1+0,7k)\right)\times 2,6=\displaystyle \left(\prod _{k=0}^{2}(1+0,7k)\right)\times 2,6$ $2,6!_{0,7}=1(1+0,7)(1+1,4)\times 2,6=1\times 1,7\times 2,4\times 2,6$

 

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