Autosuite de nombres

Définition

Autosuite de nombres

Une autosuite de nombres est une suite dont les termes de la transformée binomiale inverse sont égaux aux termes de la suite, au signe près. Cette notion semble n'avoir jamais été étudiée.

Transformée binômiale

Soit la suite de nombres a_n avec n=0,1,2,... suivie de lignes dont les termes sont égaux à la différences des termes de la suite de la ligne du dessus.

a0	a1	a2	a3
a1 − a0	a2 − a1	a3 − a2	a4 − a3
a2 − 2 a1 + a0	a3 − 2 a2 + a1	a4 − 2 a3 + a2	a5 − 2 a4 + a3
a3 − 3 a2 + 3 a1 − a0	a4 − 3 a3 + 3 a2 − a1	a5 − 3 a4 + 3 a3 − a2	a6 − 3 a5 + 3 a4 − a3

La première colonne est appelée transformée binômiale inverse de a_n. Réciproquement a_n est la transformée binômiale de la première colonne.

Dans chaque ligne on retrouve, avec les signes alternés, les coefficients du binôme de Pascal.

La suite a₀, a₂ - a₁, a₄ - 2 a₃ + a₂, a₆ - 3 a₅ + 3 a₄ - a₃ est la diagonale principale.

Autosuite de première espèce

On appelle autosuite (de nombres) de première espèce toute suite dont la diagonale principale du tableau des différences ne comporte que des zéros, c'est-à-dire la première ligne de :

0	a0	a0	a0 + a1	a0 + 2 a1	= Sn
a0	0	a1	a1	a1 + a2
−a0	a1	0	a2	a2
a0 + a1	−a1	a2	0	a3
−a0 − 2 a1	a1 + a2	−a2	a3	0

a_n est située aux deux premières diagonales supérieures ainsi qu'à la première diagonale inférieure.

La première colonne est la suite S_n avec alternativement des signes − et +, d'où le nom d'autosuite (en anglais autosequence, mentionné dans le site OEIS, On-line Encyclopedia of Integer Sequences, créé par Neil Sloane). Après 0, les coefficients de S_n sont représentés par la suite  A011973 de l'OEIS.

Autosuite de seconde espèce

Une autosuite de seconde espèce a pour première colonne la suite S_n avec alternativement des signes + et −. C'est le tableau

2a0	a0	a0 + 2 a1	a0 + 3 a1	a0 + 4 a1 + 2 a2	= Tn
−a0	2 a1	a1	a1 + 2 a2	a1 + 3 a2
a0 + 2 a1	−a1	2 a2	a2	a2 + 2 a3
- a0 − 3 a1	a1 + 2 a2	−a2	2 a3	a3
a0 + 4 a1 + 2 a2	−a1 − 3 a2	a2 + 2 a3	−a3	2 a4

On voit qu'une autre définition d'une autosuite de seconde espèce consiste à prendre pour diagonale principale le double de la première diagonale supérieure. La première ligne a pour coefficients des a_n la suite  A034807.

On passe aisément d'une autosuite de première espèce à la suite correspondante de seconde espèce par T_n = 2 × S_n+1 − S_n. Pour S_n à partir de T_n : S₀=0, $S_{n}=(S_{n-1}+T_{n-1})/2=(\sum _{k=0}^{n-1}2^{k}\times T_{k})/2^{n}$(voir la page d'autosequence du Wiki OEIS). On peut construire des autosuites à espèce alternée. Il s'agit du tableau décalé :

			0	a0	a0	a0 + a1	a0 + 2 a1
		0	0	2 a0	3 a0	4 ( a0 + a1 )	5 ( a0 + 2 a1 )
	0	0	0	6 a0	12 a0	20 ( a0 + a1 )	30 ( a0 + 2 a1 )
0	0	0	0	24 a0	60 a0	120 ( a0 + a1 )	210 ( a0 + 2 a1 )

Il part de l'autosuite de première espèce S_n. La deuxième ligne s'obtient en écrivant 0 suivi de (n+1) × S_n. C'est une autosuite de seconde espèce. On continue de la même façon. Les coefficients de a₀ lus par diagonales descendantes sont représentées par la suite  A181511.

Par extrapolation on obtient l'autosuite de seconde espèce fractionnaire S_n+1 / (n+1) .

Exemples

Suite de Fibonacci

Les nombres de Fibonacci  A000045(n) sont une autosuite de première espèce. L'autosuite de seconde espèce la précédant,  A000045(n+1) / (n+1) = 1, 1/2, 2/3, 3/4, 1, 4/3, 13/7, 21/8, 34/9, 11/2, ... , est  A270312(n+1) /  A270313(n+1). Le correspondant de  A000045(n) est  A000032(n) et réciproquement.

Les nombres d'Oresme n/2ⁿ, qui sont une autosuite de première espèce, semblent les plus anciens après ceux de Fibonacci. L'autosuite correspondante de seconde espèce est 1/2ⁿ.

Le plus simple tableau à autosuites alternées est :

			1	1/2	1/3	1/4	1/5	1/6	1/7
		0	1	1	1	1	1	1	1
	0	0	2	3	4	5	6	7	8
0	0	0	6	12	20	30	42	56	72

La première ligne est la suite de Leibniz (voir  A003506). La deuxième ligne est  A060576(n+1). La troisième ligne est  A199969. La diagonale principale est  A001761.

Autre tableau d'autosuites alternées :

1	1/2	1/4	1/8	1/16	1/32	1/64	1/128
0	1/2	1/2	3/8	1/4	5/32	3/32	7/128
0	0	1/4	3/8	3/8	5/16	15/64	21/128
0	0	0	1/8	1/4	5/16	5/16	35/128
0	0	0	0	1/16	5/32	15/64	35/128
0	0	0	0	0	1/32	3/32	21/128
0	0	0	0	0	0	1/64	7/128

La première ligne est 2⁻ⁿ.

La seconde ligne correspond aux nombres d'Oresme O(n)=n × 2⁻ⁿ.

La troisième ligne est ( n×(n−1)/2 ) × 2⁻ⁿ (voir  A069834).

La quatrième ligne est ( n×(n−1)×(n−2)/3! ) × 2⁻ⁿ.

La somme des colonnes est toujours 1. Sans les zéros, les colonnes sont les fractions  A007318/ A137688 réduites.

La somme des antidiagonales est  A001045(n+1)/2ⁿ. Les numérateurs sont les nombres de Jacobstahl positifs [1]

Les diagonales sont,à partir de la deuxième,identiques aux lignes sans les zéros.

La première ligne est aussi la diagonale principale.

Algorithme d'Akiyama-Tanigawa

Les deux premières lignes sont :

a0	a1	a2	a3	a4	...
a0 - a1	2 *(a1-a2)	3 * (a2 - a3)	4 * (a3 - a4)	5 * (a4 - a5)	...

On continue de façon analogue. La première colonne est la transformée d'Akiyama-Tanigawa de a_n. Les second nombres de Bernoulli  A164555(n)/ A027642(n) sont la transformée d'Akiyama-Tanigawa de 1/(n+1), n = 0, 1, 2, ... . La transformée d'Akiyama-Tanigawa d'une autosuite est une autosuite de meme espèce. Voir  A050946. Ainsi  A046878(n)/ A046879(n), dont la transformée d'Akiyama-Tanigawa est 0, -1, -1, 0, 1, 0, -3, ... =  A226158(n), nombres de Genocchi, autosuite de première espèce, est une autosuite de première espèce. L'autosuite correspondante (ou compagne) de seconde espèce est 2, 1, 2/3, 1/2, 2/5, 1/3 = 2/(n+1). Ainsi, par les seconds nombres de Genocchi, les seconds nombres de Bernoulli sont aussi liés à 2/(n+1), autosuite de seconde espèce.

Autres obtentions d'autosuites

Soient la suite a(n) et sa transformée binomiale inverse b(n).

L'alternance de leurs différences et de leurs sommes crée une autosuite de première espèce.

L'alternance de leurs sommes et de leurs différences crée une autosuite de seconde espèce.

Exemple : soit a(n) = 1 suivi du chiffre 3 répété indéfiniment ( A122553). On obtient d'abord l'autosuite de première espèce 5* A057427,  A057427 est l'autosuite de première espèce la plus élémentaire. Puis  A054977.

Pour  A027641(n)/ A027642(n), on obtient la suite de première espèce - A254667(n) et pour  A198631(n)/ A006519(n+1) avec  A198631(1) = -1 au lieu de 1 on obtient la même suite. Pour les suites correspondantes de seconde espèce les résultats sont fractionnaires et différents.

Pour  A027641(n)/ A027642(n), on obtient la suite de deuxième espèce Trb(n) = 2, 1, 7/3, 3, 59/15, 5, 127/21, 7, 119/15, 9, 335/33, 11, 15689/1365, 13, ... de dénominateurs  A141459(n). La diagonale principale est 2, 4/3, 4/15, -16/105, 16/105, -64/231 de dénominateurs  A181131(n).

Tout ceci peut s'obtenir à l'aide de deux triangles appliqués au triangle a(0), a(0), a(1), a(0), a(1), a(2), a(0), a(1), a(2), a(3), ... . Le premier est

0
-1	2
-1	2	0
-1	3	-3	2
-1	4	-6	4	0
-1	5	-10	10	-5	2

Ce triangle est aussi  A140575(n), lu de droite à gauche, et aussi  A255935(n), dont le texte devra être modifié, avec des signes -. Voir  A135356(n). Par multiplication, on obtient les suites de première espèce.

Pour les suites de seconde espèce le triangle est :

2
1	0
1	-2	2
1	-3	3	0
1	-4	6	-4	2
1	-5	10	-10	5	0

C'est  A277078.

On a aussi le triangle, appelé Jal1, qui crée des autosuites de première espèce :

0
0	1
0	1	0
0	1	-1	1
0	1	-2	2	0
0	1	-3	4	-2	1

Ce triangle s'obtient par une colonne de zéros suivie du triangle  A220074. La somme de ses lignes est la suite  A057427, la plus simple autosuite de première espèce, alors que la somme de la valeur absolue de ses lignes est la suite  A001045, autre autosuite de première espèce.

Pour cette même suite de Jacobstahl  A001045 écrite sous la forme dite parfois réluctante 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 3, ... on obtient par multiplication du triangle Jal1 la suite elle-même.

L'autosuite de première espèce 0, 0, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... est la transformée binomiale inverse de  A045618(n) précédée de 0, 0, 0.

Voir aussi

Liens internes

• Nombre de Bernoulli
• Suite de Fibonacci

Liens externes

• Mourad RAHMANI, « Etude Combinatoire et Analytique des Suites et des Polynômes », 16 mai 2013
• (en) Paul Barry, 2005, A Catalan Transform and Related Transformations on Integer Sequences
• (en) Masanobu Kaneko, 2000, [2]
• (en) N. J. A. Sloane, The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
• (en) Helmut Prodinger, 1992, Some information about the Binomial transform
• (en) E. W. Weisstein, Binomial Transform

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